お酢に、カルシウムが何故とけるんですか？

食酢に生卵を漬けて溶ける様子を観察されたとの事ですが、これはよくご家庭で
作られる事のある「酢卵」の作り方そのものです。
食酢に卵の殻が溶ける理由も含めて、観察された事柄を見ていきましょう。
卵殻の構成成分は大部分が炭酸カルシウム（ＣａＣＯ３）で、他に炭酸マグネシウム、リン酸カルシウム、その他微量の有機物、微量の水分が含まれます。
この炭酸カルシウムはそのままでは水に溶けませんが、食酢に含まれる酸（有機酸）の主成分である酢酸（ＣＨ３ＣＯＯＨ）と反応して、酢酸カルシウム（（ＣＨ３ＣＯＯ)２Ｃａ）になります。この酢酸カルシウムは水に溶けるのです。

　　ＣａＣＯ３ ＋ ２ＣＨ３ＣＯＯＨ → （ＣＨ３ＣＯＯ）２Ｃａ ＋ ＣＯ２ ＋ Ｈ２Ｏ
　炭酸カルシウム 酢酸　　　　　　　　　酢酸カルシウム　　　　二酸化炭素　　　水
　(水に溶けない)　　　　　　　　　　　　　（水に溶ける）　　　　　(気体)

食酢は大部分が水ですので、反応して出来た酢酸カルシウムはそのまま食酢の中に溶け込みます。これが卵の殻が食酢に溶ける理由です。
また、泡が出て・・・と書かれていましたが、これはこの反応が起こる時に発生する
二酸化炭素の泡です。さらにあくのような、膜のような分泌物が出るとも書かれていましたが、これはおそらく卵殻の表面にあって、微生物の侵入などを防ぐ役目をしている「クチクラ」というたんぱく質の薄膜でしょう。新鮮な卵は表面がザラザラしていますが、これが卵の「クチクラ」です。（構成成分で微量の有機物と書いた部分が、多分これの事です）泡の発生が終了（殻がほとんど溶けた状態でしょう）した後はほとんど何の変化もなかった様子で、残った薄膜が伸びて卵の中身が膨張し、食酢が減って・・・とありましたが、残った薄膜は「卵殻膜」と呼ばれるもので、たんぱく質が主成分の強い繊維状の物質です。
（これより内側は、もう卵白です。）これは食酢に溶けずに残ります。
この卵殻膜を通して食酢の中の水分が膜の中に入ってくるので、卵が膨張した感じになると思われます。（食酢の水分が卵の中に入ってしまうので、食酢は減ります。）（この、殻が溶けた後の卵の膨張には半透膜と浸透圧という原理が関わっていると思います。よかったら調べてみては如何でしょうか？）

クエン酸水につけて卵の殻から溶け出した溶液は食酢の時と同じですが？石灰石のような白い粉が沈殿しますがそれは何ですか？

卵殻の大部分は炭酸カルシウムです。
炭酸カルシウムはほとんど水に溶けませんが、お酢に漬けた場合は酢酸と反応して酢酸カルシウムとなり水に溶解します。
クエン酸の水溶液に漬けた場合にも（クエン酸濃度がどの程度かにもよるでしょうが）、同様にクエン酸と反応してクエン酸カルシウムとなり、水に溶けると考えられます。
ですから、溶けたカルシウムはイオンの状態で水の中に存在することになります。
そして溶け出した分だけ、卵殻のカルシウムは減少していることになります。

石灰石のような白い粉が沈澱するとのことについて、これは実際に試したことがないので何ともいえませんが、クエン酸カルシウムは炭酸カルシウムと比べると水に対する溶解度は高いものの、酢酸カルシウムと比べると遙かに溶解度は低いので、卵殻から溶け出たものの水に溶けきらない分が沈澱しているのかも知れません。
（全くの推測です。）

また、食酢の場合は食酢の水分が卵殻に入ってしまうので食酢が減ると思われたようですが、これは正確ではなく、酢に漬けて殻がほとんど溶けてしまうと、卵殻膜がむき出しの状態となり、この卵殻膜を通して、お酢の中の水分が膜の中に入るので酢の液量が減るということです。卵殻が残っている状態ではこうはならないでしょう。

卵殻から溶け出たものは、前述のように炭酸カルシウムがクエン酸と反応して出来たクエン酸カルシウムと考えられます。
これが溶け込んだことで、クエン酸水溶液には、カルシウムイオンが存在することになります。（濃度は分かりません。）
またそれによって、どの程度かは分かりませんが、水溶液のｐＨは高くなると思われます。

「ポン酢」とはどういった種類の酢を指すのですか？また、ポン酢の「ポン」とはどういった意味なのですか？

まず、「ポン酢」とはどういった種類の酢をさすのか？というご質問ですが、一般的には「味付ぽん酢」を略して「ぽん酢（ポン酢）」と呼ぶことが多いようです。
「味付ぽん酢」とは、醤油・酢・かんきつ果汁が主な原材料で、お鍋をしたときに浸けて食べる、よくご存知の調味料です。
たいていの場合、お店にはいって「ぽん酢」をくださいと頼めばこの「味付けぽん酢」がでてきますが、ときには醤油が入っていない黄色っぽい酢がでてくることがあります。
これが本来の「ぽん酢（ポン酢）」にあたります。
醤油が入っていないので白っぽく見えるので、「味付ぽん酢」と区別して「白ぽん酢」と呼ぶことがあります。
そしてこの２種類が「ぽん酢（ポン酢）」とお考えいただいたら良いと思います。

　また、「ポン」の意味ですが、「かんきつ果汁」のことだとお考えください。
「ポンス」とは古いオランダ語でかんきつ果汁を意味するものでした。それが、江戸時代に日本にはいってきて、かんきつ果汁を含んだ酸味がある調味料を「ぽん酢」とよぶようになったのです。